ベクトル $\mathbf{p}_1 = (1, -5, 2)$, $\mathbf{p}_2 = (-3, 0, 4)$, $\mathbf{p}_3 = (2, -2, 0)$ が与えられている。 まず、$\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2$ を計算し、次に $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3$ が作る平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{p}_1 = (1, -5, 2)$, $\mathbf{p}_2 = (-3, 0, 4)$, $\mathbf{p}_3 = (2, -2, 0)$ が与えられている。

まず、$\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2$ を計算し、次に $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3$ が作る平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2$ の計算

$\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(4) - (2)(0) \\ (2)(-3) - (1)(4) \\ (1)(0) - (-5)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$

(2) 平行六面体の体積の計算

平行六面体の体積は、ベクトル $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3$ のスカラー三重積の絶対値で与えられる。

つまり、$V = |(\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2) \cdot \mathbf{p}_3|$ を計算する。

まず、$(\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2) \cdot \mathbf{p}_3$ を計算する。

$(\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2) \cdot \mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = (-20)(2) + (-10)(-2) + (-15)(0) = -40 + 20 + 0 = -20$

次に、絶対値をとる。

$V = |-20| = 20$

3. 最終的な答え

$\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$

平行六面体の体積は $20$ である。