3点 $(1, 1, 0)$, $(1, 2, 1)$, $(-2, 2, -1)$ を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 $(1, 1, 0)$, $(1, 2, 1)$, $(-2, 2, -1)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平面上の2つのベクトルを求めます。

$\vec{a} = (1, 2, 1) - (1, 1, 0) = (0, 1, 1)$

$\vec{b} = (-2, 2, -1) - (1, 1, 0) = (-3, 1, -1)$

次に、これらのベクトルに垂直な法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。これは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積で計算できます。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 1) \vec{i} - (0 - (-3)) \vec{j} + (0 - (-3)) \vec{k} = (-2, -3, 3)$

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表され、ここで $(a, b, c)$ は法線ベクトル $\vec{n}$ です。したがって、平面の方程式は $-2x - 3y + 3z = d$ となります。

この平面が点 $(1, 1, 0)$ を通るので、この点を代入して $d$ を求めます。

$-2(1) - 3(1) + 3(0) = d$

$-2 - 3 + 0 = d$

$d = -5$

したがって、平面の方程式は $-2x - 3y + 3z = -5$ です。

両辺に -1 を掛けて整理すると、$2x + 3y - 3z = 5$ となります。

3. 最終的な答え

$2x + 3y - 3z = 5$