点 $A(4, 1)$ が与えられ、直線 $l: x - 2y + 4 = 0$ が与えられている。直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題。

1. 問題の内容

点 $A(4, 1)$ が与えられ、直線 $l: x - 2y + 4 = 0$ が与えられている。直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

まず、$A$ と $B$ の中点 $M$ の座標を求める。$M$ の座標は $(\frac{4+x}{2}, \frac{1+y}{2})$ である。

$M$ は直線 $l$ 上にあるので、その座標は $x - 2y + 4 = 0$ を満たす。よって、

$\frac{4+x}{2} - 2(\frac{1+y}{2}) + 4 = 0$

$4 + x - 2(1 + y) + 8 = 0$

$4 + x - 2 - 2y + 8 = 0$

$x - 2y = -10$ ...(1)

次に、直線 $AB$ は直線 $l$ と垂直である。直線 $l$ の傾きは $m_l = \frac{1}{2}$ である。直線 $AB$ の傾きは $m_{AB} = \frac{y - 1}{x - 4}$ である。

垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、

$m_l \cdot m_{AB} = -1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y - 1}{x - 4} = -1$

$y - 1 = -2(x - 4)$

$y - 1 = -2x + 8$

$2x + y = 9$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $x = 2y - 10$

これを(2)に代入する。

$2(2y - 10) + y = 9$

$4y - 20 + y = 9$

$5y = 29$

$y = \frac{29}{5}$

$x = 2(\frac{29}{5}) - 10 = \frac{58}{5} - \frac{50}{5} = \frac{8}{5}$

したがって、点 $B$ の座標は $(\frac{8}{5}, \frac{29}{5})$ である。

3. 最終的な答え

($\frac{8}{5}$, $\frac{29}{5}$)