座標平面上の2点 $A(-2, 3)$ と $B$ を結ぶ線分 $AB$ を、点 $T(13, -7)$ が $5:3$ の比に外分している。このとき、点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の2点 $A(-2, 3)$ と $B$ を結ぶ線分 $AB$ を、点 $T(13, -7)$ が $5:3$ の比に外分している。このとき、点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。点 $T$ が線分 $AB$ を $5:3$ に外分するということは、

$$\vec{AT} = \frac{5}{5-3}\vec{AB} = \frac{5}{2}\vec{AB}$$

が成り立つことを意味する。

ベクトルの成分で表すと、

$\vec{AT} = (13 - (-2), -7 - 3) = (15, -10)$

$\vec{AB} = (x - (-2), y - 3) = (x + 2, y - 3)$

したがって、

$(15, -10) = \frac{5}{2}(x + 2, y - 3)$

各成分ごとに比較すると、

$15 = \frac{5}{2}(x + 2)$

$-10 = \frac{5}{2}(y - 3)$

これらの式を解く。

$15 = \frac{5}{2}(x + 2)$ を解くと、

$30 = 5(x + 2)$

$6 = x + 2$

$x = 4$

$-10 = \frac{5}{2}(y - 3)$ を解くと、

$-20 = 5(y - 3)$

$-4 = y - 3$

$y = -1$

したがって、点 $B$ の座標は $(4, -1)$ である。

3. 最終的な答え

点B(4, -1)