点A(2,1)に関して点Q(a,b)と対称な点をPとする。 (1) Pの座標をa,bを用いて表す。 (2) Qが直線 $2x+y+1=0$ 上を動くとき、Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点A(2,1)に関して点Q(a,b)と対称な点をPとする。

(1) Pの座標をa,bを用いて表す。

(2) Qが直線 $2x+y+1=0$ 上を動くとき、Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) Pの座標を(x,y)とする。

AはPとQの中点であるから、

$2 = \frac{x+a}{2}$ かつ $1 = \frac{y+b}{2}$

したがって、

$x = 4-a$ かつ $y = 2-b$

よって、$a=4-x$ かつ $b=2-y$

(2) Q(a,b)は直線 $2x+y+1=0$ 上の点なので、

$2a+b+1=0$

ここに $a=4-x$ と $b=2-y$ を代入すると、

$2(4-x)+(2-y)+1=0$

$8-2x+2-y+1=0$

$-2x-y+11=0$

$2x+y-11=0$

したがって、Pの軌跡は直線 $2x+y-11=0$ である。

3. 最終的な答え

(1) Pの座標は、$(4-a, 2-b)$

(2) Pの軌跡は、直線 $2x+y-11=0$