問題4では、2点間の内分点、外分点、中点、そして三角形の重心の座標を求める問題です。問題5では、与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題4では、2点間の内分点、外分点、中点、そして三角形の重心の座標を求める問題です。問題5では、与えられた条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題4**

(1) 2点A(4), B(8)を結ぶ線分ABについて

* ① 3:2に内分する点C

内分点の公式は、$C = \frac{mB + nA}{m+n}$ です。ここで、$A=4$, $B=8$, $m=3$, $n=2$ なので、

$C = \frac{3 \cdot 8 + 2 \cdot 4}{3+2} = \frac{24 + 8}{5} = \frac{32}{5}$

* ② 中点M

中点の公式は、$M = \frac{A+B}{2}$ です。ここで、$A=4$, $B=8$ なので、

$M = \frac{4+8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

(2) 2点A(-2, 5), B(6, -9)を結ぶ線分ABについて

* ① 2:1に内分する点

内分点の公式は、$C = (\frac{m x_B + n x_A}{m+n}, \frac{m y_B + n y_A}{m+n})$ です。ここで、$A=(-2,5)$, $B=(6,-9)$, $m=2$, $n=1$ なので、

$C = (\frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot (-2)}{2+1}, \frac{2 \cdot (-9) + 1 \cdot 5}{2+1}) = (\frac{12-2}{3}, \frac{-18+5}{3}) = (\frac{10}{3}, -\frac{13}{3})$

* ② 1:3に外分する点

外分点の公式は、$D = (\frac{m x_B - n x_A}{m-n}, \frac{m y_B - n y_A}{m-n})$ です。ここで、$A=(-2,5)$, $B=(6,-9)$, $m=1$, $n=3$ なので、

$D = (\frac{1 \cdot 6 - 3 \cdot (-2)}{1-3}, \frac{1 \cdot (-9) - 3 \cdot 5}{1-3}) = (\frac{6+6}{-2}, \frac{-9-15}{-2}) = (\frac{12}{-2}, \frac{-24}{-2}) = (-6, 12)$

(3) 次の3点を頂点とする三角形の重心

* ① (-2, 4), (0, -3), (2, 1)

重心の公式は、$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ です。ここで、

$G = (\frac{-2+0+2}{3}, \frac{4-3+1}{3}) = (\frac{0}{3}, \frac{2}{3}) = (0, \frac{2}{3})$

* ② (-1, 4), (3, 2), (4, -3)

重心の公式は、$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ です。ここで、

$G = (\frac{-1+3+4}{3}, \frac{4+2-3}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (2, 1)$

**問題5**

(1) 点(2, 4)を通り、傾きが3の直線

直線の式は、$y = mx + b$ で表されます。ここで、$m$は傾き、$b$はy切片です。点(2, 4)を通るので、$4 = 3 \cdot 2 + b$ より、$b = 4 - 6 = -2$。したがって、$y = 3x - 2$

(2) 点(4, 6)を通り、x軸に垂直な直線

x軸に垂直な直線は、$x = c$ の形で表されます。点(4, 6)を通るので、$x = 4$

(3) 2点(1, 1), (3, 5)を通る直線

傾き $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5-1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$

直線の式は、$y = 2x + b$ と表されます。点(1, 1)を通るので、$1 = 2 \cdot 1 + b$ より、$b = 1 - 2 = -1$。したがって、$y = 2x - 1$

(4) x切片が5, y切片が-2である直線

x切片が5なので、点(5, 0)を通ります。y切片が-2なので、点(0, -2)を通ります。

傾き $m = \frac{-2 - 0}{0 - 5} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$

直線の式は、$y = \frac{2}{5}x - 2$

3. 最終的な答え

**問題4**

(1) ① C = 32/5

② M = 6

(2) ① C = (10/3, -13/3)

② D = (-6, 12)

(3) ① G = (0, 2/3)

② G = (2, 1)

**問題5**

(1) y = 3x - 2

(2) x = 4

(3) y = 2x - 1

(4) y = (2/5)x - 2