平面上に3点O, A, Bがある。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とおき、$|\overrightarrow{a}| = 3$, $|\overrightarrow{b}| = 2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ とする。Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対し、三角形PABの面積Sが最大となるときの$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平面上に3点O, A, Bがある。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とおき、$|\overrightarrow{a}| = 3$, $|\overrightarrow{b}| = 2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ とする。Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対し、三角形PABの面積Sが最大となるときの$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

三角形PABの面積Sは、三角形OABの面積と三角形OAPの面積、三角形OBPの面積の和または差で表される。点Pが円周上にあるため、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表すことを考える。

まず、三角形OABの面積は、

$S_{OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{p}$ とおくと、

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB}| = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) \times (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})| = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{p}) \times (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{p})| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{p}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{p} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{p}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{p} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})|$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{p} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})|$

面積を最大にするには、$\overrightarrow{p} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$ が $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ と同じ方向を向く必要がある。つまり、$\overrightarrow{p}$ は $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ に垂直な方向を向く必要がある。

$|\overrightarrow{p}|=1$なので、

$\overrightarrow{p} = k (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})^{\perp}$ となる。

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$に垂直なベクトルを求める。

$\overrightarrow{OA} = (3, 0)$、$\overrightarrow{OB} = (2\cos \frac{\pi}{3}, 2\sin \frac{\pi}{3}) = (1, \sqrt{3})$

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (3-1, 0-\sqrt{3}) = (2, -\sqrt{3})$

これに垂直なベクトルは $(\sqrt{3}, 2)$ である。

$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+3} = \sqrt{7}$

$\overrightarrow{p} = t(\sqrt{3}, 2)$とする。$|\overrightarrow{p}|=1$より$t^2(3+4)=1$なので、$t = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{\sqrt{3}}{7} \overrightarrow{b}^{\perp} + \frac{2}{7} \overrightarrow{a}^{\perp} = \frac{2\overrightarrow{a} -3 \overrightarrow{b}}{k}$

\overrightarrow{p} = k \frac{\overrightarrow{b}^\perp}{\|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\|} = k \frac{\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{\sqrt{3+2-2(\sqrt{7}/2*1)}}

面積Sが最大となるのは、$\overrightarrow{OP}$が$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$に垂直な単位ベクトルであるとき。

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2, -\sqrt{3})$

これと直交する単位ベクトルは、$(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}})$ または $(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, -\frac{2}{\sqrt{7}})$

面積が最大になるのは$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$と同じ方向になる場合なので、$\overrightarrow{OP} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}}{\sqrt{27}}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{a} - 3 \overrightarrow{b}}{7}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{13} ( \sqrt{1488}) = \frac{2(2a+b)}{2\sqrt{7}}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{\sqrt{3} \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}}{2}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}}{7}$

ベクトルPA * PB

Final Answer: The final answer is $\boxed{\frac{4\vec{a}+6\vec{b}}{12}}$