$R^3$ における平面 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (ここで $s, t$ は任意の実数) が、点 $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ を通らないことを説明せよ。

1. 問題の内容

$R^3$ における平面 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (ここで $s, t$ は任意の実数) が、点 $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ を通らないことを説明せよ。

2. 解き方の手順

もし点 $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ がこの平面上にあると仮定すると、ある実数 $s$ と $t$ が存在して、次の式が成り立つはずです。

$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

これを成分ごとに書き出すと、次の3つの式が得られます。

$2 = s + t$ (1)

$2 = 2s + t$ (2)

$2 = 3s$ (3)

式 (3) より $s = \frac{2}{3}$ が得られます。

これを式 (1) に代入すると、

$2 = \frac{2}{3} + t$

$t = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、もし点 $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ がこの平面上にあるとすると、$s = \frac{2}{3}$ かつ $t = \frac{4}{3}$ でなければなりません。

これらの $s$ と $t$ の値を式 (2) に代入して確かめてみましょう。

$2s + t = 2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

$\frac{8}{3} \neq 2$ なので、式 (2) が成り立ちません。

したがって、ある実数 $s$ と $t$ が存在して、$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たすことはありません。

3. 最終的な答え

点 $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ は平面 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 上にない。