三角形ABCの内心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとする。AB=3, BC=6, CA=4のとき、AO:ODを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内心をOとする。直線AOと辺BCの交点をDとする。AB=3, BC=6, CA=4のとき、AO:ODを求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質より、BD:DCを求める。次に、メネラウスの定理を用いてAO:ODを求める。

ステップ1: 角の二等分線の性質

角Aの二等分線ADが辺BCを分割する比は、AB:ACに等しい。

したがって、

$BD:DC = AB:AC = 3:4$

BC = 6なので、

$BD = \frac{3}{3+4} \times 6 = \frac{3}{7} \times 6 = \frac{18}{7}$

$DC = \frac{4}{3+4} \times 6 = \frac{4}{7} \times 6 = \frac{24}{7}$

ステップ2: メネラウスの定理

三角形BCDと直線AOに対して、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{BA}{AC} \times \frac{CO}{OD} \times \frac{DB}{BC} = 1$

$\frac{3}{4} \times \frac{AO}{OD} \times \frac{BD}{BC} = 1$

ここで、

$AO = x$

$OD = y$

とおくと

$\frac{3}{4} \times \frac{x}{y} \times \frac{18/7}{6} = 1$

$\frac{3}{4} \times \frac{x}{y} \times \frac{18}{7 \times 6} = 1$

$\frac{3}{4} \times \frac{x}{y} \times \frac{3}{7} = 1$

$\frac{9}{28} \times \frac{x}{y} = 1$

$\frac{x}{y} = \frac{28}{9}$

したがって、

$AO:OD = 28:9$

3. 最終的な答え

AO:OD = 28:9