円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=5, CD=10, DA=5であるとき、以下の値を求めよ。 (1) ACの長さ (2) cos∠ABCの値 (3) 四角形ABCDの面積S

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=5, CD=10, DA=5であるとき、以下の値を求めよ。

(1) ACの長さ

(2) cos∠ABCの値

(3) 四角形ABCDの面積S

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

円に内接する四角形なので、トレミーの定理より

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$4 \cdot 10 + 5 \cdot 5 = AC \cdot BD$

$40 + 25 = AC \cdot BD$

$AC \cdot BD = 65$

余弦定理を用いて、ACの長さを求める。

△ABCにおいて、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos B = 16 + 25 - 40 \cos B = 41 - 40 \cos B$

△ADCにおいて、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos D = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cos D = 25 + 100 - 100 \cos D = 125 - 100 \cos D$

円に内接する四角形なので、$B + D = 180^{\circ}$となり、$D = 180^{\circ} - B$

$\cos D = \cos (180^{\circ} - B) = - \cos B$

$AC^2 = 125 - 100 (-\cos B) = 125 + 100 \cos B$

$41 - 40 \cos B = 125 + 100 \cos B$

$140 \cos B = -84$

$\cos B = - \frac{84}{140} = - \frac{3}{5}$

$AC^2 = 41 - 40(-\frac{3}{5}) = 41 + 24 = 65$

$AC = \sqrt{65}$

(2) cos∠ABCの値を求める。

(1)より、$cos \angle ABC = cos B = - \frac{3}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B + \frac{1}{2} AD \cdot CD \sin D$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin B = \frac{4}{5}$

$D = 180^{\circ} - B$なので $\sin D = \sin (180^{\circ} - B) = \sin B = \frac{4}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 8 + 20 = 28$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{65}$

(2) $cos \angle ABC = -\frac{3}{5}$

(3) 四角形の面積 $S = 28$