三角形ABCに関する以下の3つの問題に答える。 (1) $b = 5\sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $C = 15^\circ$のとき、$a$と外接円の半径$R$を求める。 (2) $a = 7$, $b = 4$, $c = 9$のとき、三角形ABCの面積と内接円の半径$r$を求める。 (3) $\frac{\sin A}{7} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{3}$が成り立つとき、三角形ABCの種類を答える。

1. 問題の内容

三角形ABCに関する以下の3つの問題に答える。

(1) $b = 5\sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $C = 15^\circ$のとき、$a$と外接円の半径$R$を求める。

(2) $a = 7$, $b = 4$, $c = 9$のとき、三角形ABCの面積と内接円の半径$r$を求める。

(3) $\frac{\sin A}{7} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{3}$が成り立つとき、三角形ABCの種類を答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$B$の角度を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$なので、

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{5\sqrt{2} \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5$

外接円の半径$R$は、$\frac{a}{\sin A} = 2R$より、

$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{5}{2 \sin 30^\circ} = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5$

(2)

ヘロンの公式より、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+4+9}{2} = 10$

三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{10(10-7)(10-4)(10-9)} = \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

内接円の半径$r$は、$S = rs$より、$r = \frac{S}{s} = \frac{6\sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{15}{5\sqrt{5}}$

$r = \frac{6 \sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(3)

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$なので、

$a:b:c = 7:5:3$

$a = 7k, b = 5k, c = 3k$とおく。

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$なので、$A = 120^\circ$

よって、三角形ABCは鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$, $R = 5$

(2) $\triangle ABC = 6\sqrt{5}$, $r = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(3) 鈍角三角形