直角三角形ABCの内接円と各辺との接点をP, Q, Rとする。$\angle A = 90^\circ$, $BP = 10$, $PC = 3$であるとき、$\angle RPQ$の大きさと内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCの内接円と各辺との接点をP, Q, Rとする。$\angle A = 90^\circ$, $BP = 10$, $PC = 3$であるとき、$\angle RPQ$の大きさと内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、内接円の半径を$r$とする。

$AR = AQ = r$となる。

$BP = BR = 10$なので、$AB = AR + BR = r + 10$となる。

$CP = CQ = 3$なので、$AC = AQ + CQ = r + 3$となる。

$\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

$(r+10)^2 + (r+3)^2 = (10+3)^2$

$r^2 + 20r + 100 + r^2 + 6r + 9 = 169$

$2r^2 + 26r + 109 = 169$

$2r^2 + 26r - 60 = 0$

$r^2 + 13r - 30 = 0$

$(r+15)(r-2) = 0$

$r > 0$より$r = 2$

次に$\angle RPQ$を求める。

内接円の中心を$I$とする。

$\angle IRB = \angle IPB = 90^\circ$であり、四角形IRBPの内角の和は360度なので

$\angle RIB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle B = 180^\circ - \angle B$

よって$\angle RIP = \frac{1}{2} \angle RIB = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

同様に

$\angle QIC = 180^\circ - \angle C$

$\angle QIP = \frac{1}{2} \angle QIC = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$

$\angle RPQ = \angle RIP + \angle QIP = 90^\circ - \frac{\angle B}{2} + 90^\circ - \frac{\angle C}{2} = 180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}$

$\angle B + \angle C = 90^\circ$なので

$\angle RPQ = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

これは誤り。

$IR \perp AB$, $IP \perp BC$, $IQ \perp AC$

$\angle RIB = 180 - \angle B$より$\angle BIR = 180 - \angle B$

$\angle CIP = 180 - \angle C$より$\angle BIC = 180 - \angle C$

$\angle RIP = 90 - B/2$, $\angle QIP = 90 - C/2$

$\angle RPQ = \frac{180 - \angle B}{2} + \frac{180 - \angle C}{2} = 90 - B/2 + 90 - C/2 = 90 - B/2 + 90 - (90 - B)/2 = 45$

内接円の中心を$I$とする。

四角形$ARIQ$において、$\angle A = 90^\circ, \angle ARI = \angle AQI = 90^\circ$であるから、$\angle RIQ = 90^\circ$

よって、四角形$ARIQ$は正方形であるから、$AR = AQ = r$

$\triangle RIB$において、$BR = BP = 10$, $r = 2$なので、$\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\triangle QIC$において、$CQ = CP = 3$, $r = 2$なので、$\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{3}$

$\angle RPB = \frac{B}{2}, \angle QPC = \frac{C}{2}$なので$\angle RPQ = 45^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle RPQ = 45^\circ$

内接円の半径は $2$