(iv) 点 $(1, 2)$ と直線 $3x - y + 1 = 0$ の距離を求める。 (v) 中心 $(1, 2)$, 半径 $5$ である円 $C_1$ の方程式を求める。円 $C_1$ を $x$ 軸方向に $(25)(26)$, $y$ 軸方向に $(27)(28)$ 平行移動すると, 円 $C_2: x^2 + y^2 = (23)(24)$ と重なる。この円 $C_2$ 上の点 $(3, -4)$ における、円 $C_2$ の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(iv) 点 $(1, 2)$ と直線 $3x - y + 1 = 0$ の距離を求める。

(v) 中心 $(1, 2)$, 半径 $5$ である円 $C_1$ の方程式を求める。円 $C_1$ を $x$ 軸方向に $(25)(26)$, $y$ 軸方向に $(27)(28)$ 平行移動すると, 円 $C_2: x^2 + y^2 = (23)(24)$ と重なる。この円 $C_2$ 上の点 $(3, -4)$ における、円 $C_2$ の接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(iv) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。この問題では, $(x_0, y_0) = (1, 2)$, $a = 3$, $b = -1$, $c = 1$ なので,

$d = \frac{|3(1) - 1(2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 2 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

よって, $(18)(19) = 10$, $(20) = 5$

(v) 中心 $(h, k)$, 半径 $r$ の円の方程式は

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

で与えられる。この問題では, $(h, k) = (1, 2)$, $r = 5$ なので, 円 $C_1$ の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 = 25$

よって, $(21) = 1$, $(22) = 2$, $(23)(24) = 25$

円 $C_1$ を $x$ 軸方向に $(25)(26)$, $y$ 軸方向に $(27)(28)$ 平行移動すると, 円 $C_2: x^2 + y^2 = 25$ と重なるので, 円 $C_2$ の中心は原点 $(0, 0)$ である。よって、円$C_1$の中心$(1,2)$を$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-2$だけ平行移動すれば、円$C_2$と重なる。したがって、$(25)(26) = -1$, $(27)(28) = -2$

円 $C_2: x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, -4)$ における接線の方程式は, $3x - 4y = 25$ で与えられる。

よって, $(29) = 3$, $(30) = 4$, $(31)(32) = 25$

3. 最終的な答え

(iv) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(v) $(x-1)^2+(y-2)^2=25$

$3x - 4y = 25$