4次元空間 $R^4$ の中にあり、原点Oからの方向が $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、Oからの距離が3の点 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$ を求めよ。

1. 問題の内容

4次元空間 $R^4$ の中にあり、原点Oからの方向が $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、Oからの距離が3の点 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ を正規化します。このベクトルの大きさは

$\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = \sqrt{9} = 3$

です。

したがって、正規化された方向ベクトルは

$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix}$

です。

求める点は原点からの距離が3であり、方向がこの正規化されたベクトルであるため、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix}$

を計算します。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$