2つの直線の方程式が与えられており、これらの直線がなす角を求める問題です。直線の方程式は次の通りです。 $\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{-1}$ $x+2 = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+3}{3}$

1. 問題の内容

2つの直線の方程式が与えられており、これらの直線がなす角を求める問題です。直線の方程式は次の通りです。

$\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{-1}$

$x+2 = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+3}{3}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の方向ベクトルを求めます。

1本目の直線の方向ベクトル $\vec{v_1}$ は、分母の係数から $(2, 3, -1)$ となります。

2本目の直線の方向ベクトル $\vec{v_2}$ は、$x+2=x-(-2)$と考えると、分母の係数から $(1, -2, 3)$ となります。

次に、2つのベクトルのなす角 $\theta$ を求めます。

2つのベクトルの内積は、

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_1}||\vec{v_2}| \cos\theta$

で表されます。

したがって、

$\cos\theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|}$

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(3) = 2 - 6 - 3 = -7$

$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$\cos\theta = \frac{-7}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos(-\frac{1}{2})$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ (ラジアン) または $120^\circ$

なす角は通常、鋭角で表すため、$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ となります。

もしくは、$\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ (ラジアン)

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$ (ラジアン) または $60^\circ$