三角形ABCの内心をOとし、直線AOと辺BCの交点をDとする。AB=3, BC=6, CA=4のとき、AO:ODを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内心をOとし、直線AOと辺BCの交点をDとする。AB=3, BC=6, CA=4のとき、AO:ODを求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を用いて線分BDとDCの比を求める。

角の二等分線ADは、辺BCをAB:ACの比に内分するので、

$BD:DC = AB:AC = 3:4$

$BC=6$より、

$BD = \frac{3}{3+4} \times 6 = \frac{18}{7}$

次に、メネラウスの定理を用いてAO:ODを求める。

三角形BCDにおいて、直線AOが辺BC, CD, DBとそれぞれ点D, O, Aで交わると考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{BA}{AC} \times \frac{CO}{OD} \times \frac{DB}{BA} = 1$

$\frac{BC}{CD} \times \frac{DO}{OA} \times \frac{AE}{EB}=1$

$\triangle BCD$ に直線 $AO$ を適用すると、メネラウスの定理より

$\frac{BA}{AC} \times \frac{CO}{OD} \times \frac{DB}{BC} = 1$

$\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}$ より $CD = \frac{4}{3} BD$ なので、

$\frac{BC}{BD} = \frac{BC}{\frac{3}{7} BC} = \frac{7}{3}$

$\frac{CD}{BC} = \frac{4}{7}$.

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線ADについて、

$BD:DC=AB:AC=3:4$

$BD = \frac{3}{7}BC = \frac{18}{7}$

$CD = \frac{4}{7}BC = \frac{24}{7}$

$\triangle ABD$に直線COを適用すると、メネラウスの定理より

$\frac{AO}{OD} \times \frac{DC}{CB} \times \frac{BE}{EA} = 1$

$\frac{AO}{OD} = \frac{CB}{DC} \times \frac{EA}{BE} = \frac{BC}{CD}\frac{AC+AB}{BC} =\frac{AC+AB}{AC+BC}

一方、内心Oは角の二等分線の交点であるから、角Bの二等分線をBEとすると、

$AE : EC = AB : BC = 3:6 = 1:2$

$AE = \frac{1}{3}AC = \frac{4}{3}$

$\frac{AO}{OD}=\frac{AB+AC}{BC} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}$より

よって $\frac{CD}{BC} \times \frac{AO}{OD} \times \frac{EA}{AB}=1$ より、

$\frac{AO}{OD} = \frac{BC}{CD}\times \frac{AB}{AE}= \frac{6}{\frac{24}{7}} \times \frac{3}{\frac{4}{3}}= (\frac{7}{4})\times (\frac{9}{4})=\frac{7}{4} \times \frac{9}{4} = \frac{21}{6}$

$\frac{BC}{BD} \times \frac{AO}{OD} \times \frac{DC}{AC}=1$

$\frac{6}{18/7} \times \frac{AO}{OD} \times \frac{AC}{AC}=1$

$\frac{6 \times 7}{18} = \frac{7}{3}$

したがって$\frac{AD}{AO}=\frac{7}{3} = 1$

よって $\frac{AO}{OD} = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{3+4}{6}=\frac{7}{6}$

3. 最終的な答え

AO:OD = 7:6