xy平面上に2点A$(5-2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$とB$(5+2\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2})$がある。線分ABを直径とする円をCとする。 (1) 円Cの方程式を求めよ。 (2) 円C上に中心をもち、x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に2点A$(5-2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$とB$(5+2\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2})$がある。線分ABを直径とする円をCとする。

(1) 円Cの方程式を求めよ。

(2) 円C上に中心をもち、x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの中心は線分ABの中点であり、半径は線分ABの長さの半分である。

まず、円Cの中心の座標を求める。

中心のx座標は $\frac{(5-2\sqrt{2}) + (5+2\sqrt{2})}{2} = \frac{10}{2} = 5$

中心のy座標は $\frac{(1+2\sqrt{2}) + (1-2\sqrt{2})}{2} = \frac{2}{2} = 1$

よって、円Cの中心は$(5, 1)$である。

次に、円Cの半径を求める。半径はAと中心との距離に等しい。

半径$r$は

$r = \sqrt{(5-2\sqrt{2} - 5)^2 + (1+2\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$

よって、円Cの方程式は

$(x-5)^2 + (y-1)^2 = 4^2$

$(x-5)^2 + (y-1)^2 = 16$

(2) 円C上に中心があり、x軸とy軸の両方に接する円の中心は$(r, r)$または$(-r, r)$または$(r, -r)$または$(-r, -r)$の形をしている。ここで、$r$はその円の半径である。

中心$(r, r)$の場合、$x$軸と$y$軸に接するので、$r>0$。

円Cの中心$(5, 1)$からの距離は4なので、

$(r-5)^2 + (r-1)^2 = 16$

$r^2 - 10r + 25 + r^2 - 2r + 1 = 16$

$2r^2 - 12r + 26 = 16$

$2r^2 - 12r + 10 = 0$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-5)(r-1) = 0$

$r = 5, 1$

したがって、中心は$(5, 5)$または$(1, 1)$である。

円の方程式は$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$または$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$

中心$(-r, r)$の場合、$r>0$。

$(-r-5)^2 + (r-1)^2 = 16$

$(r+5)^2 + (r-1)^2 = 16$

$r^2 + 10r + 25 + r^2 - 2r + 1 = 16$

$2r^2 + 8r + 26 = 16$

$2r^2 + 8r + 10 = 0$

$r^2 + 4r + 5 = 0$

$r = \frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2}$

実数解を持たないので、この場合は存在しない。

中心$(r, -r)$の場合、$r>0$。

$(r-5)^2 + (-r-1)^2 = 16$

$(r-5)^2 + (r+1)^2 = 16$

$r^2 - 10r + 25 + r^2 + 2r + 1 = 16$

$2r^2 - 8r + 26 = 16$

$2r^2 - 8r + 10 = 0$

$r^2 - 4r + 5 = 0$

$r = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}$

実数解を持たないので、この場合は存在しない。

中心$(-r, -r)$の場合、$r>0$。

$(-r-5)^2 + (-r-1)^2 = 16$

$(r+5)^2 + (r+1)^2 = 16$

$r^2 + 10r + 25 + r^2 + 2r + 1 = 16$

$2r^2 + 12r + 26 = 16$

$2r^2 + 12r + 10 = 0$

$r^2 + 6r + 5 = 0$

$(r+5)(r+1) = 0$

$r = -5, -1$

$r>0$より、解なし。

したがって、円の方程式は$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$または$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 16$

(2) $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$, $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$