2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めます。 直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5 + kt$, $z = -3 + 2t$ （$t$は実数）で表されます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を求めます。

直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5 + kt$, $z = -3 + 2t$ （$t$は実数）で表されます。

2. 解き方の手順

2つの直線が垂直であるための条件は、それぞれの直線の方向ベクトルの内積が0になることです。

まず、直線 $l_1$ の方向ベクトルを求めます。直線の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_1} = (4, 6, 3)$ となります。

次に、直線 $l_2$ の方向ベクトルを求めます。直線の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_2} = (-3, k, 2)$ となります。

2つの直線が垂直であるための条件は、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ です。したがって、

$$4(-3) + 6(k) + 3(2) = 0$$

$$-12 + 6k + 6 = 0$$

$$6k = 6$$

$$k = 1$$

3. 最終的な答え

$k = 1$