中心角が90°のおうぎ形OACにおいて、弧AC上に点Bをとる。AB = x, BC = yとするとき、おうぎ形OACの面積をxとyを用いて表す。

1. 問題の内容

中心角が90°のおうぎ形OACにおいて、弧AC上に点Bをとる。AB = x, BC = yとするとき、おうぎ形OACの面積をxとyを用いて表す。

2. 解き方の手順

おうぎ形の半径をrとします。

AO = BO = CO = r です。

三角形ABOと三角形BCOに着目します。これらは二等辺三角形です。

点BからAOに垂線を下ろし、交点をDとします。

点BからOCに垂線を下ろし、交点をEとします。

四角形BDOEは正方形になります。BD = OE = BE = OD

三角形ABDにおいて、三平方の定理より

$r^2 = BD^2 + (r-OD)^2 = BD^2 + (r-BD)^2$

三角形BCEにおいて、三平方の定理より

$r^2 = BE^2 + (r-OE)^2 = BE^2 + (r-BE)^2$

三角形ABOにおいて、余弦定理より

$x^2 = r^2 + r^2 - 2 r^2 cos(\angle AOB)$

$x^2 = 2 r^2 - 2 r^2 cos(\angle AOB)$

三角形BCOにおいて、余弦定理より

$y^2 = r^2 + r^2 - 2 r^2 cos(\angle BOC)$

$y^2 = 2 r^2 - 2 r^2 cos(\angle BOC)$

$\angle AOB + \angle BOC = 90^{\circ}$なので、$\angle BOC = 90^{\circ} - \angle AOB$

$cos(\angle BOC) = cos(90^{\circ} - \angle AOB) = sin(\angle AOB)$

$x^2 = 2 r^2 (1 - cos(\angle AOB))$

$y^2 = 2 r^2 (1 - sin(\angle AOB))$

$x^2 + y^2 = 2 r^2 (1 - cos(\angle AOB) + 1 - sin(\angle AOB)) = 2 r^2 (2 - cos(\angle AOB) - sin(\angle AOB))$

また、 $\angle AOB = \alpha$とすると、

$AB = x, BC = y$より、$BD = OE = BE = OD = z$とすると

$x^2 = (r-z)^2 + z^2$

$y^2 = (r-z)^2 + z^2$

$x^2 = r^2 - 2rz + 2z^2$

$y^2 = r^2 - 2rz + 2z^2$

$x^2 + y^2 = 2r^2$

おうぎ形OACの面積は $\frac{1}{4} \pi r^2$ です。

$r^2 = \frac{x^2 + y^2}{2}$

おうぎ形OACの面積は $\frac{1}{4} \pi \frac{x^2 + y^2}{2} = \frac{\pi}{8} (x^2 + y^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}(x^2+y^2)$