2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* 軸 $x = -m > 0$ (2つの解が正)

* $f(0) = m + 2 > 0$ (2つの解が正)

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 > 0$

両辺を4で割って、$m^2 - m - 2 > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 2$

次に、軸 $x = -m > 0$ より、$m < 0$

最後に、$f(0) = m + 2 > 0$ より、$m > -2$

3つの条件、$m < -1$ または $m > 2$, $m < 0$, $m > -2$ を満たす $m$ の範囲は、

$-2 < m < -1$

3. 最終的な答え

$-2 < m < -1$