整式 $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$$P(x) = (x+1)^2(x-2)Q(x) + R(x)$$

$R(x)$ は2次以下の整式なので、$R(x) = ax^2 + bx + c$ とおけます。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $18x+9$ であることから、$R(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りも $18x+9$ となるので、

$R(x) = a(x+1)^2 + 18x + 9$ とおけます。

一方、$P(2)=9$ であり、$P(2)=R(2)$であるから

$$R(2) = a(2+1)^2 + 18(2) + 9 = 9$$

$$9a + 36 + 9 = 9$$

$$9a = -36$$

$$a = -4$$

よって、$R(x) = -4(x+1)^2 + 18x + 9 = -4(x^2 + 2x + 1) + 18x + 9 = -4x^2 - 8x - 4 + 18x + 9 = -4x^2 + 10x + 5$

したがって、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割った余りは $-4x^2 + 10x + 5$ となります。

3. 最終的な答え

$-4x^2 + 10x + 5$