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問題は、与えられた行列によって正方形の頂点 $ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $, $ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ が変換されるとき、変換後の各頂点の座標を求め、それらの頂点が囲む図形の面積を求める問題です。4つの行列それぞれについて、変換後のベクトルと面積を計算します。

代数学行列線形変換面積
2025/6/29

1. 問題の内容

問題は、与えられた行列によって正方形の頂点 [00] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} , [10] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , [11] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} , [01] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} が変換されるとき、変換後の各頂点の座標を求め、それらの頂点が囲む図形の面積を求める問題です。4つの行列それぞれについて、変換後のベクトルと面積を計算します。

2. 解き方の手順

各行列に対して、与えられた正方形の4つの頂点の座標を変換し、変換後の座標を求めます。そして、変換後の座標が囲む図形の面積を計算します。
(1) A=[3004] A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}
* A[00]=[00] A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
* A[10]=[30] A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}
* A[11]=[34] A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}
* A[01]=[04] A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}
変換後の図形は長方形となり、面積は 3×4=12 3 \times 4 = 12 となります。
(2) A=[4234] A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
* A[00]=[00] A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
* A[10]=[43] A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}
* A[11]=[67] A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix}
* A[01]=[24] A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}
変換後の図形は平行四辺形であり、面積は ∣(4×4−3×2)∣=∣16−6∣=10 |(4 \times 4 - 3 \times 2)| = |16 - 6| = 10 となります。
(3) A=[−23−14] A = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
* A[00]=[00] A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
* A[10]=[−2−1] A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}
* A[11]=[13] A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}
* A[01]=[34] A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}
変換後の図形は平行四辺形であり、面積は ∣(−2×4−(−1)×3)∣=∣−8+3∣=∣−5∣=5 |(-2 \times 4 - (-1) \times 3)| = |-8 + 3| = |-5| = 5 となります。
(4) A=[cos⁡60∘−sin⁡60∘sin⁡60∘cos⁡60∘]=[1/2−3/23/21/2] A = \begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{bmatrix}
* A[00]=[00] A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
* A[10]=[1/23/2] A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}
* A[11]=[1/2−3/23/2+1/2] A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 - \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 + 1/2 \end{bmatrix}
* A[01]=[−3/21/2] A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}
変換後の図形は正方形であり、面積は ∣cos⁡260∘+sin⁡260∘∣=∣(1/2)2+(3/2)2∣=∣1/4+3/4∣=1 |\cos^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ| = |(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2| = |1/4 + 3/4| = 1 となります。

3. 最終的な答え

(1) 変換後の頂点: [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [30]\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}, [34]\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, [04]\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}, 面積: 12
(2) 変換後の頂点: [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [43]\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}, [67]\begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix}, [24]\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, 面積: 10
(3) 変換後の頂点: [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [−2−1]\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}, [13]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, [34]\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, 面積: 5
(4) 変換後の頂点: [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [1/23/2]\begin{bmatrix} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}, [1/2−3/23/2+1/2]\begin{bmatrix} 1/2 - \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 + 1/2 \end{bmatrix}, [−3/21/2]\begin{bmatrix} -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}, 面積: 1

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