$x, y$ が3つの不等式 $x+y \leq 6$, $2x+y \geq 6$, $x+2y \geq 4$ を満たすとき、$2x+3y$ の最大値および最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ が3つの不等式 $x+y \leq 6$, $2x+y \geq 6$, $x+2y \geq 4$ を満たすとき、$2x+3y$ の最大値および最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から領域を図示します。

(1) $x+y \leq 6$ は、$y \leq -x+6$ であり、直線 $y = -x+6$ の下側の領域を表します。

(2) $2x+y \geq 6$ は、$y \geq -2x+6$ であり、直線 $y = -2x+6$ の上側の領域を表します。

(3) $x+2y \geq 4$ は、$2y \geq -x+4$, つまり $y \geq -\frac{1}{2}x+2$ であり、直線 $y = -\frac{1}{2}x+2$ の上側の領域を表します。

これらの不等式を満たす領域は、これらの直線の交点によって定まります。

交点を計算します。

- $x+y=6$ と $2x+y=6$ の交点：$x=0, y=6$ より、$(0,6)$

- $x+y=6$ と $x+2y=4$ の交点：$x=6-y$ を $x+2y=4$ に代入して $6-y+2y=4$ より、$y=-2$、$x=8$ よって $(8,-2)$

- $2x+y=6$ と $x+2y=4$ の交点：$y=6-2x$ を $x+2y=4$ に代入して $x+2(6-2x)=4$ より、$x+12-4x=4$、$3x=8$、$x=\frac{8}{3}$、$y=6-2\cdot \frac{8}{3} = 6-\frac{16}{3} = \frac{18-16}{3} = \frac{2}{3}$ よって$(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$

よって、これらの不等式を満たす領域は、 $(0,6)$, $(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$, $(8, -2)$ で囲まれた領域です。

次に、$2x+3y = k$ とおき、$k$ の最大値と最小値を求めます。

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{k}{3}$ なので、この直線が領域と交わるように、$k$ の値を変化させます。

領域の頂点における $2x+3y$ の値を計算します。

- $(0,6)$ のとき、$2(0)+3(6) = 18$

- $(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$ のとき、$2(\frac{8}{3})+3(\frac{2}{3}) = \frac{16}{3}+\frac{6}{3} = \frac{22}{3}$

- $(8,-2)$ のとき、$2(8)+3(-2) = 16-6 = 10$

したがって、$2x+3y$ の最大値は18、最小値は$\frac{22}{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 18

最小値: $\frac{22}{3}$