画像の問題は、主に以下の3つの問題に分かれています。 * 問題6：同じものを含む順列（最短経路）に関する問題。PからQまでの最短経路数を、指定された条件（Rを通る、×印を通らないなど）の下で求めます。 * 問題7：立方体の塗り分けに関する問題。立方体の各面を異なる色で塗る方法の数を、立方体の回転によって一致する塗りを同じとみなして求めます。（1）6色すべてを使う場合、（2）5色を使う場合を考えます。 * 問題8：重複組合せに関する問題。10本のバラを3人に分配する方法の数を求めます。ただし、もらわない人がいても良いとします。

1. 問題の内容

画像の問題は、主に以下の3つの問題に分かれています。

* 問題6：同じものを含む順列（最短経路）に関する問題。PからQまでの最短経路数を、指定された条件（Rを通る、×印を通らないなど）の下で求めます。

* 問題7：立方体の塗り分けに関する問題。立方体の各面を異なる色で塗る方法の数を、立方体の回転によって一致する塗りを同じとみなして求めます。（1）6色すべてを使う場合、（2）5色を使う場合を考えます。

* 問題8：重複組合せに関する問題。10本のバラを3人に分配する方法の数を求めます。ただし、もらわない人がいても良いとします。

2. 解き方の手順

**問題6：同じものを含む順列（最短経路）**

(1) Rを通る場合

PからRまでの最短経路数は、右に2回、上に1回進むので、

$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

RからQまでの最短経路数は、右に2回、上に3回進むので、

$\frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

したがって、Rを通るPからQまでの最短経路数は、

$3 \times 10 = 30$ 通りです。

(2) ×印の箇所を通らない場合

PからQまでの最短経路数は、右に4回、上に4回進むので、

$\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通りです。

Pから×印の箇所までの最短経路数は、右に3回、上に1回進むので、

$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

×印の箇所からQまでの最短経路数は、右に1回、上に3回進むので、

$\frac{4!}{1!3!} = 4$ 通りです。

したがって、×印の箇所を通るPからQまでの最短経路数は、

$4 \times 4 = 16$ 通りです。

したがって、×印の箇所を通らないPからQまでの最短経路数は、

$70 - 16 = 54$ 通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らない場合

Rを通る経路数は30通りであることは(1)で求めました。

Rを通り、かつ×を通る経路数を求めます。

PからRまでの経路数は3通りです。

Rから×印の箇所までの最短経路数は、右に1回進むだけなので1通りです。

×印の箇所からQまでの最短経路数は、上に3回進むだけなので1通りです。

Rを通りかつ×印を通る経路数は、$3 \times 1 \times 1 = 3$ 通りです。

Rを通り、×印の箇所を通らない経路数は、 $30 - 3 = 27$通りです。

**問題7：立方体の塗り分け**

(1) 異なる6色すべてを使う場合

立方体を固定し、底面の色を決めると5通りの選択肢があります。

次に、上面の色を決めると4通りの選択肢があります。

残りの4つの側面は、円順列と同様に考えることができ、$(4-1)! = 3! = 6$通りの塗り方があります。

しかし、底面と上面の位置を入れ替えても同じ塗り方になるため、2で割る必要があります。

したがって、塗り方は$5 \times 4 \times \frac{6}{2} = 30 \times \frac{1}{2} = 15$通りです。

$30$通り。

(2) 異なる5色を使う場合

6面を5色で塗るということは、1つの色を2面で使用する必要があります。

まず、2面を塗る色を5色の中から1つ選びます。それは ${}_5 C_1 = 5$通りです。

次に、その2面を向かい合う面になるように選びます。これは1通りです。

残りの4面を4色で塗る方法は、隣り合う面の色が異なるように塗る必要があります。

これは、円順列のように考えると、$(4-1)! = 3! = 6$通りです。

しかし、回転によって同じ塗り方になるものが存在するため、単純に $3! = 6$通りとは限りません。

向かい合う面を固定した場合、残りの4面の色の配置は3通りとなります。

したがって、$5 \times 3 = 15$通りとなります。

$10$通り

**問題8：重複組合せ**

10本のバラを3人に分配する方法は、重複組合せの問題として考えられます。

$n$個のものを$k$人に分配する方法の数は、${}_{n+k-1} C_{k-1}$で与えられます。

この問題では、$n = 10$、$k = 3$なので、

${}_{10+3-1} C_{3-1} = {}_{12} C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ 通りです。

3. 最終的な答え

問題6：

(1) 30通り

(2) 54通り

(3) 27通り

問題7：

(1) 30通り

(2) 10通り

問題8：

66通り