(1) 座標が(4,3)である点Pについて、動径OPとx軸の正の向きとのなす角を$\alpha$とするとき、$\cos\alpha$と$\sin\alpha$の値を求める。 (2) $4\sin x + 3\cos x = r\sin(x+\alpha)$を満たす$r$の値を求める。 (3) 関数 $y = 4\sin x + 3\cos x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 座標が(4,3)である点Pについて、動径OPとx軸の正の向きとのなす角を$\alpha$とするとき、$\cos\alpha$と$\sin\alpha$の値を求める。

(2) $4\sin x + 3\cos x = r\sin(x+\alpha)$を満たす$r$の値を求める。

(3) 関数 $y = 4\sin x + 3\cos x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点P(4,3)をとり、原点Oと結ぶ線分OPの長さを求める。線分OPの長さは、三平方の定理より、$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$となる。

$\cos\alpha$ は $x$座標をOPの長さで割った値なので、$\cos\alpha = \frac{4}{5}$

$\sin\alpha$ は $y$座標をOPの長さで割った値なので、$\sin\alpha = \frac{3}{5}$

(2) $4\sin x + 3\cos x = r\sin(x+\alpha)$

右辺を展開すると、$r\sin(x+\alpha) = r(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = r\cos\alpha \sin x + r\sin\alpha \cos x$

左辺と右辺の係数を比較すると、

$\sin x$の係数について、$4 = r\cos\alpha$

$\cos x$の係数について、$3 = r\sin\alpha$

両辺をそれぞれ二乗して足し合わせると、

$4^2 + 3^2 = (r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2$

$16 + 9 = r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

$25 = r^2 \cdot 1$

$r^2 = 25$

$r > 0$より、$r = 5$

(3) $y = 4\sin x + 3\cos x$

(2)より、$4\sin x + 3\cos x = 5\sin(x+\alpha)$ （ただし、$\cos\alpha = \frac{4}{5}, \sin\alpha = \frac{3}{5}$）

$-1 \le \sin(x+\alpha) \le 1$より、

$-5 \le 5\sin(x+\alpha) \le 5$

よって、$-5 \le y \le 5$

最大値は5、最小値は-5

3. 最終的な答え

(1) $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$

(2) $r = 5$

(3) 最大値: 5, 最小値: -5