$125 = 5^3$ なので、 $\sqrt[5]{125} = \sqrt[5]{5^3} = 5^{\frac{3}{5}}$

## 問題 1 の内容

$\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[5]{125}$ を計算してください。

## 解き方の手順

1. まず、$\sqrt[5]{125}$ を $5$ の指数で表します。

$125 = 5^3$ なので、

$\sqrt[5]{125} = \sqrt[5]{5^3} = 5^{\frac{3}{5}}$

2. 次に、$\frac{1}{5}$ を $5$ の指数で表します。

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

3. 対数の底と真数を $5$ の指数で表したので、元の式は以下のように書き換えられます。

$\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[5]{125} = \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{5}}$

4. 対数の性質 $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ を利用します。

$\log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{-1} \log_5 5$

5. $\log_5 5 = 1$ なので、

$\frac{\frac{3}{5}}{-1} \log_5 5 = -\frac{3}{5} \cdot 1 = -\frac{3}{5}$

## 最終的な答え

$-\frac{3}{5}$

## 問題 2 の内容

$\log_9 8 \cdot \log_8 3$ を計算してください。

## 解き方の手順

1. 対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用います。

ここでは底を $10$ に変換することにします。

$\log_9 8 \cdot \log_8 3 = \frac{\log 8}{\log 9} \cdot \frac{\log 3}{\log 8}$

2. 式を整理すると、

$\frac{\log 8}{\log 9} \cdot \frac{\log 3}{\log 8} = \frac{\log 3}{\log 9}$

3. $\log 9 = \log 3^2 = 2 \log 3$ を利用します。

$\frac{\log 3}{\log 9} = \frac{\log 3}{2 \log 3}$

4. $\log 3$ で約分すると、

$\frac{\log 3}{2 \log 3} = \frac{1}{2}$

## 最終的な答え

$\frac{1}{2}$