問題15: $a, b, c$ は実数とするとき、$a = b$ と同値な条件をすべて選ぶ。選択肢は以下の3つです。 * ① $a + c = b + c$ * ② $a^2 = b^2$ * ③ $(a-b)^2 = 0$ 問題16: $a, b$ は実数, $m, n$ は自然数とするとき、以下の(1)〜(3)のそれぞれについて、空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」のうち、適する言葉を入れる。 * (1) 四角形ABCDが長方形であることは、四角形ABCDが平行四辺形であるための(　)。 * (2) $a > b$ は、$2a + 1 > 2b + 1$ であるための(　)。 * (3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための(　)。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題15: $a, b, c$ は実数とするとき、$a = b$ と同値な条件をすべて選ぶ。選択肢は以下の3つです。

* ① $a + c = b + c$

* ② $a^2 = b^2$

* ③ $(a-b)^2 = 0$

問題16: $a, b$ は実数, $m, n$ は自然数とするとき、以下の(1)〜(3)のそれぞれについて、空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」のうち、適する言葉を入れる。

* (1) 四角形ABCDが長方形であることは、四角形ABCDが平行四辺形であるための(　)。

* (2) $a > b$ は、$2a + 1 > 2b + 1$ であるための(　)。

* (3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための(　)。

2. 解き方の手順

問題15:

* ① $a + c = b + c$ のとき、両辺から $c$ を引くと $a = b$ となる。逆に $a = b$ ならば両辺に $c$ を加えて $a + c = b + c$ となる。したがって、これは必要十分条件であり、$a = b$ と同値である。

* ② $a^2 = b^2$ のとき、$a = b$ または $a = -b$ となる。したがって、$a = b$ とは同値ではない。

* ③ $(a - b)^2 = 0$ のとき、$a - b = 0$ より $a = b$ となる。逆に $a = b$ ならば $(a - b)^2 = 0$ となる。したがって、これは必要十分条件であり、$a = b$ と同値である。

問題16:

* (1) 四角形ABCDが長方形ならば、平行四辺形である。しかし、四角形ABCDが平行四辺形であっても長方形とは限らない（菱形など）。したがって、長方形であることは平行四辺形であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

* (2) $a > b$ ならば、$2a > 2b$、さらに $2a + 1 > 2b + 1$ となる。逆に、$2a + 1 > 2b + 1$ ならば、$2a > 2b$、したがって $a > b$ となる。これは必要十分条件である。

* (3) 積 $mn$ が偶数であるのは、$m$ が偶数または $n$ が偶数の場合である。したがって、$mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための必要条件ではあるが、十分条件ではない。($n$ が偶数の場合も、$mn$ は偶数となるため。)

3. 最終的な答え

問題15: ①, ③

問題16:

* (1) 十分条件であるが必要条件ではない

* (2) 必要十分条件である

* (3) 必要条件であるが十分条件ではない