数列 $\{3k(k+1)\}$ の第1項から第n項までの和 $\sum_{k=1}^n 3k(k+1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{3k(k+1)\}$ の第1項から第n項までの和 $\sum_{k=1}^n 3k(k+1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^n 3k(k+1)$ を展開します。

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\sum_{k=1}^n 3k(k+1) = 3\sum_{k=1}^n (k^2 + k) = 3 \left( \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k \right)

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次に、$\sum_{k=1}^n k^2$ と $\sum_{k=1}^n k$ をそれぞれ計算します。

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\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

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\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)

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これらを代入して、

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3 \left( \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1) \right)

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$n(n+1)$でくくります。

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3 \left[ \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2} n(n+1) \right] = 3 \cdot \frac{1}{6} n(n+1) \{ (2n+1) + 3 \}

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= \frac{1}{2} n(n+1)(2n+4) = \frac{1}{2} n(n+1) \cdot 2(n+2)

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= n(n+1)(n+2)

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3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n 3k(k+1) = n(n+1)(n+2)$