$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定します。つまり、互いに素な整数 $m, n$ (ただし $n \neq 0$) を用いて、

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せると仮定します。

(2) 上記の式を二乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

となります。

(3) 両辺に $n^2$ をかけると、

$m^2 = 3n^2$

となります。この式は、$m^2$ が3の倍数であることを示しています。

(4) $m^2$ が3の倍数であるならば、$m$ も3の倍数です。したがって、$m = 3k$ (kは整数) と表せます。

(5) $m = 3k$ を $m^2 = 3n^2$ に代入すると、

$(3k)^2 = 3n^2$

$9k^2 = 3n^2$

となります。

(6) 両辺を3で割ると、

$3k^2 = n^2$

となります。この式は、$n^2$ が3の倍数であることを示しています。

(7) $n^2$ が3の倍数であるならば、$n$ も3の倍数です。

(8) したがって、$m$ も $n$ も3の倍数となり、これは $m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

(9) よって、最初の仮定「$\sqrt{3}$ が有理数である」が誤りであったことになります。

3. 最終的な答え

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数です。