$m, n$ は自然数とする。以下の2つの命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認する。 (1) $m$ は4の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数 (2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

1. 問題の内容

$m, n$ は自然数とする。以下の2つの命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認する。

(1) $m$ は4の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

(2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

2. 解き方の手順

(1)

* 命題: $m$ は4の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

$m$ が4の倍数であるとき、$m = 4k$ （$k$ は自然数）と表せる。

$m = 4k = 2(2k)$ であるから、$m$ は偶数である。

したがって、命題は真である。

* 対偶: $m$ は奇数 $\Rightarrow$ $m$ は4の倍数ではない

$m$ が奇数であるとき、$m = 2k-1$ （$k$ は自然数）と表せる。

$m = 2k-1$ は4で割り切れないため、$m$ は4の倍数ではない。

したがって、対偶は真である。

* 結論：命題と対偶はともに真なので、一致する。

(2)

* 命題: $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

$m+n$ が偶数であるとき、$m+n = 2k$ （$k$ は自然数）と表せる。

このとき、$m, n$ がともに偶数であるか、または $m, n$ がともに奇数であるかのいずれかである。

$m, n$ がともに偶数ならば、$m$ は偶数または $n$ は偶数は真である。

$m, n$ がともに奇数ならば、$m$ は奇数かつ $n$ は奇数なので、$m$ は偶数または $n$ は偶数は真である。

したがって、命題は真である。

* 対偶: $m$ は奇数かつ $n$ は奇数 $\Rightarrow$ $m+n$ は奇数

$m$ が奇数かつ $n$ が奇数であるとき、$m = 2k-1, n = 2l-1$ （$k, l$ は自然数）と表せる。

このとき、$m+n = (2k-1) + (2l-1) = 2k+2l-2 = 2(k+l-1)$ となり、$m+n$ は偶数である。

したがって、$m+n$ は奇数ではないので、対偶は偽である。

ここで命題の反例を示す。$m = 1, n = 1$ のとき、$m+n = 2$ は偶数だが、$m, n$ はともに奇数である。

したがって、$m$ は偶数または $n$ は偶数は偽である。

* 結論：命題は真であり、対偶は偽なので、一致しない。

3. 最終的な答え

(1) 命題は真、対偶は真。したがって、一致する。

(2) 命題は真、対偶は偽。したがって、一致しない。