$a > 0$ のとき、$2a + \frac{8}{a} \ge \Box$ にあてはまる最大の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$2a + \frac{8}{a} \ge \Box$ にあてはまる最大の値を求めよ。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$a > 0$ より、$2a > 0$ かつ $\frac{8}{a} > 0$ であるので、相加平均・相乗平均の関係から、

$$\frac{2a + \frac{8}{a}}{2} \ge \sqrt{2a \cdot \frac{8}{a}}$$

$$2a + \frac{8}{a} \ge 2 \sqrt{16}$$

$$2a + \frac{8}{a} \ge 2 \cdot 4$$

$$2a + \frac{8}{a} \ge 8$$

等号が成立するのは、$2a = \frac{8}{a}$ のとき。つまり、$2a^2 = 8$ より $a^2 = 4$。$a > 0$ なので、$a = 2$ のとき。

したがって、$2a + \frac{8}{a}$ の最小値は8となります。問題文は「最大の値を求めよ」なので、問題文が間違っていると思われます。最小値を求める問題として回答します。

3. 最終的な答え

8