与えられた問題は以下の通りです。 (1) 次の値を求めよ。 ① $\log_2 8$ ② $\log_{\sqrt{3}} 9$ (2) 次の式を計算せよ。 ① $3\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} + \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{6}$ ② $\log_2 3 \cdot \log_3 5 - \log_4 5$ (3) $2, \log_4 18, \log_{16} 81$ の3つの数の大小を不等号を用いて表せ。 (4) 次の方程式、不等式を解け。 ① $\log_2 x = 3$ ② $\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > 2$

はい、承知しました。問題の内容と解答手順、そして最終的な答えを以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) 次の値を求めよ。

① $\log_2 8$

② $\log_{\sqrt{3}} 9$

(2) 次の式を計算せよ。

① $3\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} + \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{6}$

② $\log_2 3 \cdot \log_3 5 - \log_4 5$

(3) $2, \log_4 18, \log_{16} 81$ の3つの数の大小を不等号を用いて表せ。

(4) 次の方程式、不等式を解け。

① $\log_2 x = 3$

② $\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > 2$

2. 解き方の手順

(1)

① $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

② $\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 4$

(2)

① $3\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} + \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{6} = 3\log_{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{2}} + \log_{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}} - \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}}$

$= \frac{3}{2} \log_{\frac{1}{2}} 2 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{1}{2} (\log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 3)$

$= \frac{3}{2} \log_{\frac{1}{2}} 2 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3$

$= \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$

② $\log_2 3 \cdot \log_3 5 - \log_4 5 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 3} - \frac{\log_2 5}{\log_2 4}$

$= \log_2 5 - \frac{\log_2 5}{2} = \frac{1}{2} \log_2 5$

(3)

$2 = \log_4 4^2 = \log_4 16$

$\log_{16} 81 = \frac{\log_4 81}{\log_4 16} = \frac{\log_4 3^4}{2} = \frac{4 \log_4 3}{2} = 2 \log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9$

したがって、$2 = \log_4 16 < \log_4 18$, $\log_4 9 < \log_4 16 < \log_4 18$

よって、$\log_{16} 81 < 2 < \log_4 18$

(4)

① $\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$

② $\log_{\frac{1}{3}} (x-1) > 2 \implies x-1 < (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ かつ $x-1 > 0$

$x < \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$ かつ $x > 1$

したがって、$1 < x < \frac{10}{9}$

3. 最終的な答え

(1)

① 3

② 4

(2)

① -1

② $\frac{1}{2} \log_2 5$

(3)

$\log_{16} 81 < 2 < \log_4 18$

(4)

① $x = 8$

② $1 < x < \frac{10}{9}$