$x=1$ を代入すると、$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となり、方程式を満たすため、$x-1$ は与えられた3次式の因数となります。

## 問題(3)の内容

3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解きます。

## 解き方の手順

1. **因数定理の利用:**

$x=1$ を代入すると、$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となり、方程式を満たすため、$x-1$ は与えられた3次式の因数となります。

2. **因数分解:**

与式を $x-1$ で割る（組み立て除法または筆算による除算）。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

3. **2次方程式の解法:**

$x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。この2次式は因数分解できます。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

したがって、$x=2$ または $x=3$。

4. **すべての解:**

元の3次方程式の解は、$x = 1, 2, 3$。

## 最終的な答え

$x = 1, 2, 3$

## 問題(4)の内容

3次方程式 $x^3 - 7x^2 + 8 = 0$ を解きます。

## 解き方の手順

1. **因数定理の利用:**

$x=-1$ を代入すると、$(-1)^3 - 7(-1)^2 + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$ となり、方程式を満たすため、$x+1$ は与えられた3次式の因数となります。

2. **因数分解:**

与式を $x+1$ で割る（組み立て除法または筆算による除算）。

$x^3 - 7x^2 + 8 = (x+1)(x^2 - 8x + 8)$

3. **2次方程式の解法:**

$x^2 - 8x + 8 = 0$ を解きます。解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$x = 4 \pm 2\sqrt{2}$

4. **すべての解:**

元の3次方程式の解は、$x = -1, 4 + 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2}$。

## 最終的な答え

$x = -1, 4 + 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2}$