与えられた数式の値を計算する問題です。数式は $(\log_3 5 + \log_9 25)(\log_5 27 - \log_{25} 3)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は

$(\log_3 5 + \log_9 25)(\log_5 27 - \log_{25} 3)$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの括弧の中を計算します。底が異なる対数が含まれているため、底の変換公式を用いて底を統一します。今回は底を3に統一します。

$\log_9 25 = \frac{\log_3 25}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5^2}{\log_3 3^2} = \frac{2\log_3 5}{2} = \log_3 5$

したがって、最初の括弧は

$\log_3 5 + \log_9 25 = \log_3 5 + \log_3 5 = 2\log_3 5$

となります。

次に、2番目の括弧を計算します。

$\log_5 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 5} = \frac{\log_3 3^3}{\log_3 5} = \frac{3}{\log_3 5}$

$\log_{25} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 25} = \frac{1}{\log_3 5^2} = \frac{1}{2\log_3 5}$

したがって、2番目の括弧は

$\log_5 27 - \log_{25} 3 = \frac{3}{\log_3 5} - \frac{1}{2\log_3 5} = \frac{6}{2\log_3 5} - \frac{1}{2\log_3 5} = \frac{5}{2\log_3 5}$

与えられた数式は

$(\log_3 5 + \log_9 25)(\log_5 27 - \log_{25} 3) = (2\log_3 5)\left(\frac{5}{2\log_3 5}\right) = \frac{10\log_3 5}{2\log_3 5} = 5$

となります。

3. 最終的な答え

5