与えられた式 $\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$ を計算して、その値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$ を計算して、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[5]{72}$ を指数で表します。

$\sqrt[5]{72} = 72^{\frac{1}{5}}$

次に、72を素因数分解します。

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

したがって、

$\sqrt[5]{72} = (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}$

与えられた式に代入します。

$\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3 = \log_2 (2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}) - \frac{2}{5} \log_2 3$

対数の性質 $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ を使います。

$\log_2 (2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}) = \log_2 2^{\frac{3}{5}} + \log_2 3^{\frac{2}{5}}$

対数の性質 $\log_a x^y = y \log_a x$ を使います。

$\log_2 2^{\frac{3}{5}} + \log_2 3^{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \log_2 2 + \frac{2}{5} \log_2 3$

$\log_2 2 = 1$ なので、

$\frac{3}{5} \log_2 2 + \frac{2}{5} \log_2 3 = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \log_2 3$

元の式に戻って計算を続けます。

$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} \log_2 3 - \frac{2}{5} \log_2 3 = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$