$\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\tan \beta = -\frac{5}{12}$ とする。ただし、$0 < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \pi$ である。 $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\tan \beta = -\frac{5}{12}$ とする。ただし、$0 < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \pi$ である。

$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$について考える。$0 < \alpha < \pi$より、$\alpha$は第1象限または第2象限の角である。

$\tan \alpha = \frac{3}{4} > 0$ より、$\alpha$は第1象限の角である。したがって、$\sin \alpha > 0$ かつ $\cos \alpha > 0$ である。

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{4}$ であるから、$\sin \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ に代入すると、

$(\frac{3}{4} \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{9}{16} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{25}{16} \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$

$\cos \alpha > 0$ であるから、$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ である。

$\sin \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ である。

次に、$\beta$について考える。$0 < \beta < \pi$より、$\beta$は第1象限または第2象限の角である。

$\tan \beta = -\frac{5}{12} < 0$ より、$\beta$は第2象限の角である。したがって、$\sin \beta > 0$ かつ $\cos \beta < 0$ である。

$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = -\frac{5}{12}$ であるから、$\sin \beta = -\frac{5}{12} \cos \beta$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ に代入すると、

$(-\frac{5}{12} \cos \beta)^2 + \cos^2 \beta = 1$

$\frac{25}{144} \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$

$\frac{169}{144} \cos^2 \beta = 1$

$\cos^2 \beta = \frac{144}{169}$

$\cos \beta = \pm \frac{12}{13}$

$\cos \beta < 0$ であるから、$\cos \beta = -\frac{12}{13}$ である。

$\sin \beta = -\frac{5}{12} \cos \beta = -\frac{5}{12} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$ である。

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$, $\cos \beta = -\frac{12}{13}$