$a_n$ を正の整数とする。$n \ge 1$ のとき、以下の条件で数列 $a_n$ を定義する。 (1) $n = 71$ のとき、$a_n = \frac{3}{8}$ (2) $k \ge 1$ のとき、$a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$ $a_n = 0$ となることを示し、また、$a_n = \infty$ となることを示す。また、$1 < k < 1$ のとき、$a_n$ を求めよ。ただし、最後の条件は $1 < k < 1$ で矛盾しているので、$1 < k < 1$ を $a_1 < k < 1$ に修正して解釈します。

1. 問題の内容

$a_n$ を正の整数とする。$n \ge 1$ のとき、以下の条件で数列 $a_n$ を定義する。

(1) $n = 71$ のとき、$a_n = \frac{3}{8}$

(2) $k \ge 1$ のとき、$a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$

$a_n = 0$ となることを示し、また、$a_n = \infty$ となることを示す。また、$1 < k < 1$ のとき、$a_n$ を求めよ。ただし、最後の条件は $1 < k < 1$ で矛盾しているので、$1 < k < 1$ を $a_1 < k < 1$ に修正して解釈します。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$ という漸化式に着目します。

$a_n$ がある値を取ると、$a_{n+1}$ はその逆数を取ります。さらに、$a_{n+2}$ は $a_{n+1}$ の逆数を取るので、$a_{n+2} = a_n$ となります。つまり、この数列は周期 2 で同じ値が繰り返されます。

(1) $a_n = 0$ を示す。

問題文の条件から $a_{71} = \frac{3}{8}$ です。周期 2 の数列なので、$a_{73} = \frac{3}{8}$, $a_{75} = \frac{3}{8}$ ... となります。

また、$a_{72} = \frac{1}{a_{71}} = \frac{8}{3}$, $a_{74} = \frac{8}{3}$ ... となります。

したがって、$a_n = 0$ となることはありません。問題文に誤りがあるか、別の条件下で $a_n = 0$ となることを示す必要があると考えられます。

(2) $a_n = \infty$ を示す。

$a_n = \infty$ となることは、ある $n$ に対して $a_n = 0$ となるときに起こります。しかし、上記より、$a_n = 0$ となることはないので、$a_n = \infty$ となることもありません。問題文に誤りがあるか、別の条件下で $a_n = \infty$ となることを示す必要があると考えられます。

(3) $a_1 < k < 1$ のとき、$a_n$ を求める。

与えられた条件から、$a_{71} = \frac{3}{8}$ です。

したがって、$a_{70} = \frac{1}{a_{71}} = \frac{8}{3}$ となります。

$a_1 < k < 1$ という条件だけでは、$a_1$ の値を特定することはできません。$a_1$ の値が与えられていないので、$a_n$ を具体的に求めることはできません。問題文の条件が不足していると考えられます。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、厳密な意味での解答はできません。現状の解釈では、

* $a_n = 0$ となることはありません。

* $a_n = \infty$ となることはありません。

* $a_1 < k < 1$ という条件だけでは、$a_n$ を特定できません。

問題文に与えられた条件を修正し、または別の条件を加えることで、これらの問題を解くことができる可能性があります。