数列の第k項は、初項1から始まる公差4の等差数列の和です。 第k項は等差数列 $1, 5, 9, ..., 4k-3$ の和として表されます。 よって、第k項 $a_k$ は、 $a_k = \sum_{i=1}^{k} (4i - 3) = 4 \sum_{i=1}^{k} i - 3\sum_{i=1}^{k} 1 = 4 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 2k(k+1) - 3k = 2k^2 + 2k - 3k = 2k^2 - k$ したがって、第k項は $a_k = 2k^2 - k$ となります。

## 数学の問題

次の数列の第k項を求めよ。また、初項から第n項までの和を求めよ。

(1) 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ......

(2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ......

## (1) の解き方の手順

1. **第k項を求める:**

数列の第k項は、初項1から始まる公差4の等差数列の和です。

第k項は等差数列 $1, 5, 9, ..., 4k-3$ の和として表されます。

よって、第k項 $a_k$ は、

$a_k = \sum_{i=1}^{k} (4i - 3) = 4 \sum_{i=1}^{k} i - 3\sum_{i=1}^{k} 1 = 4 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 2k(k+1) - 3k = 2k^2 + 2k - 3k = 2k^2 - k$

したがって、第k項は $a_k = 2k^2 - k$ となります。

2. **初項から第n項までの和を求める:**

初項から第n項までの和 $S_n$ は、第k項の $k=1$ から $k=n$ までの和です。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

したがって、初項から第n項までの和は $S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$ となります。

## (1) の最終的な答え

* 第k項: $2k^2 - k$

* 初項から第n項までの和: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

## (2) の解き方の手順

1. **第k項を求める:**

数列の第k項は、初項1から始まる公比3の等比数列の和です。

第k項は等比数列 $1, 3, 9, ..., 3^{k-1}$ の和として表されます。

よって、第k項 $a_k$ は、

$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

したがって、第k項は $a_k = \frac{3^k - 1}{2}$ となります。

2. **初項から第n項までの和を求める:**

初項から第n項までの和 $S_n$ は、第k項の $k=1$ から $k=n$ までの和です。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1)}{4} - \frac{n}{2} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

したがって、初項から第n項までの和は $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$ となります。

## (2) の最終的な答え

* 第k項: $\frac{3^k - 1}{2}$

* 初項から第n項までの和: $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$