次の数列の第k項を求め、また初項から第n項までの和を求めよ。 (1) 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ... (2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ...

1. 問題の内容

次の数列の第k項を求め、また初項から第n項までの和を求めよ。

(1) 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ...

(2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ...

2. 解き方の手順

(1) 数列 $a_n$の第k項 $a_k$と、初項から第n項までの和 $S_n$を求める。

数列の各項は、初項1、公差4の等差数列の和となっている。

第k項 $a_k$は、初項1、公差4の等差数列の第k項までの和である。

$a_k = \sum_{i=1}^{k} (1 + 4(i-1)) = \sum_{i=1}^{k} (4i - 3) = 4 \sum_{i=1}^{k} i - 3 \sum_{i=1}^{k} 1 = 4 \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 2k(k+1) - 3k = 2k^2 + 2k - 3k = 2k^2 - k$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) 数列 $b_n$の第k項 $b_k$と、初項から第n項までの和 $T_n$を求める。

数列の各項は、初項1、公比3の等比数列の和となっている。

第k項 $b_k$は、初項1、公比3の等比数列の第k項までの和である。

$b_k = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1) = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n-1)}{3-1} - n) = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n-1)}{2} - n) = \frac{3(3^n-1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 第k項: $2k^2 - k$, 初項から第n項までの和: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) 第k項: $\frac{3^k - 1}{2}$, 初項から第n項までの和: $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$