問題は、集合 $A$ と集合 $B$ について、$A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ が成り立つことを、図を用いて確かめることです。

1. 問題の内容

問題は、集合 $A$ と集合 $B$ について、$A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ が成り立つことを、図を用いて確かめることです。

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則を確認します。ド・モルガンの法則は、以下の2つの式で表されます。

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

今回、証明したい式は、$A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ です。これはド・モルガンの法則の1つと似ています。

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ の両辺を否定すると、$\overline{\overline{A \cap B}} = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$となり、二重否定の法則より$A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$が成り立つことがわかります。

したがって、この式はド・モルガンの法則を利用することで証明できます。

図を用いて説明すると、まず$\overline{A}$ は $A$ の補集合、$つまりA$に含まれない部分です。同様に$\overline{B}$は$B$に含まれない部分です。$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ に含まれない部分と $B$ に含まれない部分の和集合、つまり $A$ と $B$ のどちらにも含まれていない部分以外の部分です。

したがって、$\overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ は、「$A$ と $B$ のどちらにも含まれていない部分以外の部分」の補集合です。これは、$A$ と $B$ の両方に含まれる部分、$つまりA \cap B$ と一致します。

3. 最終的な答え

$A \cap B = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ は成り立つ。