方程式 $x = y^2 - 2y$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。

## 問題7の(1)の解答

1. 問題の内容

方程式 $x = y^2 - 2y$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $x = y^2 - 2y$ を $x$ について微分する。

左辺は $\frac{dx}{dx} = 1$ となる。

右辺は $y$ が $x$ の関数であることに注意して連鎖律を用いる。

$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(-2y) = -2 \frac{dy}{dx}$

したがって、

$1 = 2y \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$1 = (2y - 2) \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y - 1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y - 1)}$

## 問題7の(2)の解答

1. 問題の内容

方程式 $x = y^2 + y + 1$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $x = y^2 + y + 1$ を $x$ について微分する。

左辺は $\frac{dx}{dx} = 1$ となる。

右辺は $y$ が $x$ の関数であることに注意して連鎖律を用いる。

$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(1) = 0$

したがって、

$1 = 2y \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$1 = (2y + 1) \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y + 1}$

## 問題7の(3)の解答

1. 問題の内容

方程式 $x = \tan y$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。ただし、$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$とする。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $x = \tan y$ を $x$ について微分する。

左辺は $\frac{dx}{dx} = 1$ となる。

右辺は $y$ が $x$ の関数であることに注意して連鎖律を用いる。

$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{1}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx}$

したがって、

$1 = \frac{1}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$

$\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$

$\tan y = x$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

問題文の指示に従い、$y$ で表す。

$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$

## 問題5の(1)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 \log 3x$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^3$, $v = \log 3x$ とおく。

$u' = 3x^2$

$v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = 3x^2 \log 3x + x^3 \cdot \frac{1}{x}$

$y' = 3x^2 \log 3x + x^2$

$y' = x^2(3 \log 3x + 1)$

3. 最終的な答え

$y' = x^2(3 \log 3x + 1)$

## 問題5の(2)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1) \log (x^2 + 1)$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2 + 1$, $v = \log (x^2 + 1)$ とおく。

$u' = 2x$

$v' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

したがって、

$y' = 2x \log (x^2 + 1) + (x^2 + 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$

$y' = 2x \log (x^2 + 1) + 2x$

$y' = 2x (\log (x^2 + 1) + 1)$

3. 最終的な答え

$y' = 2x (\log (x^2 + 1) + 1)$

## 問題5の(3)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_2 x)^3$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$y = u^3$, $u = \log_2 x$ とおく。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x \log 2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 3 (\log_2 x)^2 \cdot \frac{1}{x \log 2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3 (\log_2 x)^2}{x \log 2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3 (\log_2 x)^2}{x \log 2}$

## 問題6の(1)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \log |x+2|$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$y = \log |u|$, $u = x+2$ とおく。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2} \cdot 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{x+2}$

## 問題6の(2)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \log |x^2-4|$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$y = \log |u|$, $u = x^2-4$ とおく。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-4} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2-4}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2x}{x^2-4}$

## 問題6の(3)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 |2x-5|$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$y = \log_3 |u|$, $u = 2x-5$ とおく。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u \log 3}$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(2x-5) \log 3} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(2x-5) \log 3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2}{(2x-5) \log 3}$

## 問題8の解答

1. 問題の内容

2次関数 $f(x)$ が $f''(x) + 2f'(x) = 8x$ および $f(0) = 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は2次関数なので、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

このとき、$f'(x) = 2ax + b$、$f''(x) = 2a$ となる。

$f''(x) + 2f'(x) = 2a + 2(2ax + b) = 4ax + 2a + 2b = 8x$ より、

$4a = 8$ かつ $2a + 2b = 0$

$a = 2$ かつ $2(2) + 2b = 0$ より $b = -2$

$f(x) = 2x^2 - 2x + c$

$f(0) = 1$ より、$2(0)^2 - 2(0) + c = 1$ なので $c = 1$

したがって、$f(x) = 2x^2 - 2x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^2 - 2x + 1$

## 問題9の解答

1. 問題の内容

$f(x)$ は0でない $x$ の整式で、$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ および $f(0) = 1$ を満たしている。

(1) $f(x)$ の次数を求める。

(2) $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の次数を $n$ とする。

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ （ただし、$a_n \neq 0$）

$f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + ... + a_1$

$f''(x) = n(n-1) a_n x^{n-2} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3} + ... + 2a_2$

$xf''(x) = n(n-1) a_n x^{n-1} + ...$ （次数 $n-1$）

$(1-x)f'(x) = (1-x)(n a_n x^{n-1} + ...) = n a_n x^{n-1} - n a_n x^n + ...$ （次数 $n$）

$3f(x) = 3 a_n x^n + ...$ （次数 $n$）

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = (-na_n + 3a_n)x^n + ... = (3-n) a_n x^n + ... = 0$

$a_n \neq 0$ より、$3 - n = 0$ なので $n = 3$

したがって、$f(x)$ の次数は 3 である。

(2) $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$f(0) = 1$ より、$d = 1$ なので $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f''(x) = 6ax + 2b$

$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = x(6ax+2b) + (1-x)(3ax^2+2bx+c) + 3(ax^3+bx^2+cx+1) = 0$

$= 6ax^2 + 2bx + 3ax^2 + 2bx + c - 3ax^3 - 2bx^2 - cx + 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx + 3 = 0$

$= (6a + 3a - 2b + 3b)x^2 + (2b + 2b + c - c + 3c)x + (c + 3) = 0$

$= (9a + b)x^2 + (4b + 3c)x + (c + 3) = 0$

$9a + b = 0$

$4b + 3c = 0$

$c + 3 = 0$

$c = -3$

$4b + 3(-3) = 0$ より $4b = 9$ なので $b = \frac{9}{4}$

$9a + \frac{9}{4} = 0$ より $9a = -\frac{9}{4}$ なので $a = -\frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{4} x^3 + \frac{9}{4} x^2 - 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の次数は 3

(2) $f(x) = -\frac{1}{4} x^3 + \frac{9}{4} x^2 - 3x + 1$