広義積分 $\int_{1}^{3} \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx$ の値を求める問題です。積分区間の下端 $x=1$ で被積分関数が発散するため、広義積分となります。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{3} \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx$ の値を求める問題です。積分区間の下端 $x=1$ で被積分関数が発散するため、広義積分となります。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$t = x^2 - 1$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となります。よって、

$\int \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{t^2}} dt = \int t^{-2/3} dt$

この積分は簡単に計算できます。

$\int t^{-2/3} dt = \frac{t^{1/3}}{1/3} + C = 3t^{1/3} + C = 3\sqrt[3]{t} + C$

したがって、

$\int \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx = 3\sqrt[3]{x^2 - 1} + C$

次に、広義積分の計算をします。

$\int_{1}^{3} \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{1+\epsilon}^{3} \frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} dx$

$= \lim_{\epsilon \to +0} [3\sqrt[3]{x^2 - 1}]_{1+\epsilon}^{3}$

$= \lim_{\epsilon \to +0} (3\sqrt[3]{3^2 - 1} - 3\sqrt[3]{(1+\epsilon)^2 - 1})$

$= \lim_{\epsilon \to +0} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{1+2\epsilon+\epsilon^2 - 1})$

$= \lim_{\epsilon \to +0} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{2\epsilon + \epsilon^2})$

$= 3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = 6$

3. 最終的な答え

6