広義積分 $\int_{-3}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{-3}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。これは基本的な積分であり、$x = 3\sin\theta$ と置換することで計算できます。

$x = 3\sin\theta$ とすると、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となり、$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{1}{3\cos\theta} 3\cos\theta d\theta = \int d\theta = \theta + C$

ここで、$\sin\theta = \frac{x}{3}$ より、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$

次に、定積分を計算します。積分区間が $[-3, 3]$ なので、

$\int_{-3}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \left[\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{-3}^{3} = \arcsin\left(\frac{3}{3}\right) - \arcsin\left(\frac{-3}{3}\right) = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$