数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ が $a(t) = -\cos t$ で与えられ、初速度 $v(0) = 1$ であるとき、時刻 $t = 0$ から $t = 2\pi$ までの点Pが通過した道のりを求める問題です。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ が $a(t) = -\cos t$ で与えられ、初速度 $v(0) = 1$ であるとき、時刻 $t = 0$ から $t = 2\pi$ までの点Pが通過した道のりを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、加速度 $a(t)$ を積分して速度 $v(t)$ を求めます。

$v(t) = \int a(t) dt = \int -\cos t dt = -\sin t + C$

初期条件 $v(0) = 1$ より、$1 = -\sin 0 + C$ なので、$C = 1$ となります。

したがって、$v(t) = -\sin t + 1$ です。

次に、速度 $v(t)$ が正となる区間と負となる区間を調べます。

$-\sin t + 1 \ge 0$ であることから、$-\sin t \ge -1$ 、つまり $\sin t \le 1$ です。

これは全ての $t$ で成り立ちます。

したがって、速度 $v(t)$ は常に非負であるため、時刻 $t=0$ から $t=2\pi$ までの道のりは、位置の変化と同じになります。

位置 $x(t)$ を求めるために、$v(t)$ を積分します。

$x(t) = \int v(t) dt = \int (-\sin t + 1) dt = \cos t + t + D$

道のりは位置の変化なので、$x(2\pi) - x(0)$ を計算します。

$x(2\pi) = \cos(2\pi) + 2\pi + D = 1 + 2\pi + D$

$x(0) = \cos(0) + 0 + D = 1 + D$

道のり $= |x(2\pi) - x(0)| = |(1 + 2\pi + D) - (1 + D)| = |2\pi| = 2\pi$

3. 最終的な答え

$2\pi$