広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とおくと、

$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} dx$

$= [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

まず、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x}$ を計算します。これは不定形 $\infty \cdot 0$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$

したがって、

$[-xe^{-x}]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (-xe^{-x}) - (-0 \cdot e^{-0}) = 0 - 0 = 0$

次に、$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (-e^{-x}) - (-e^{-0}) = 0 - (-1) = 1$

よって、$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

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