与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。分子に $x^2 + 3 - 3$ を加えることで、次のように変形できます。

$\frac{x^2}{x^2 + 3} = \frac{x^2 + 3 - 3}{x^2 + 3} = \frac{x^2 + 3}{x^2 + 3} - \frac{3}{x^2 + 3} = 1 - \frac{3}{x^2 + 3}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^2}{x^2 + 3} dx = \int \left(1 - \frac{3}{x^2 + 3}\right) dx = \int 1 dx - \int \frac{3}{x^2 + 3} dx$

$\int 1 dx = x + C_1$

次に、$\int \frac{3}{x^2 + 3} dx$ を計算します。これは $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ の形に似ています。$3 = (\sqrt{3})^2$ であることに注意すると、

$\int \frac{3}{x^2 + 3} dx = 3 \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C_2 = \sqrt{3} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int \frac{x^2}{x^2 + 3} dx = x - \sqrt{3} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$ (ここで $C = C_1 - C_2$)

3. 最終的な答え

$x - \sqrt{3} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$