広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{9+x^2} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{9+x^2} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分を以下のように書き換えます。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{9+x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{3^2+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ という公式を利用します。この公式において $a = 3$ とすれば、

$\int \frac{1}{9+x^2} dx = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$

となります。次に、広義積分を計算します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{9+x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b} \frac{1}{9+x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) \right]_{-b}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \frac{1}{3} \left( \arctan(\frac{b}{3}) - \arctan(\frac{-b}{3}) \right)$

$= \lim_{b \to \infty} \frac{1}{3} \left( \arctan(\frac{b}{3}) + \arctan(\frac{b}{3}) \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right)$

$= \frac{1}{3} \pi$

$= \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$