与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた恒等式

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

を利用して、和

$S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた恒等式を利用して、$S$の各項を差の形に変形します。

$\frac{1}{1\cdot3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right)$

$\frac{1}{3\cdot5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$

$\frac{1}{5\cdot7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right)$

$\vdots$

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

となります。$\frac{1}{2}$でくくると、

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

となり、括弧の中は、隣り合う項が打ち消し合うtelescoping sumの形になるので、

$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$