数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n})$ ($n=1,2,\dots$) で定義されるとき、$\{a_n\}$ が下に有界な単調減少数列であり、$\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}$ であることを示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n})$ ($n=1,2,\dots$) で定義されるとき、$\{a_n\}$ が下に有界な単調減少数列であり、$\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $a_n > 0$ を数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 > 0$。

$n=k$ で $a_k > 0$ と仮定すると、$a_{k+1} = \frac{1}{2}(a_k + \frac{2}{a_k})$ となり、$a_k > 0$ より $a_{k+1} > 0$。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n > 0$。

(2) $a_{n+1} - a_n < 0$ を示す。

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n}) - a_n = \frac{1}{2}(\frac{2}{a_n} - a_n) = \frac{1}{a_n}(1 - \frac{a_n^2}{2})$。

$a_{n+1} > \sqrt{2}$ を示す。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n})$ に対し、相加相乗平均の不等式より、$a_n + \frac{2}{a_n} \ge 2\sqrt{a_n \cdot \frac{2}{a_n}} = 2\sqrt{2}$。

したがって、$a_{n+1} \ge \sqrt{2}$。

$a_n \ge \sqrt{2}$ であるとすると、$a_n^2 \ge 2$。よって、$1 - \frac{a_n^2}{2} \le 0$。

したがって、$a_{n+1} - a_n \le 0$。つまり、$a_{n+1} \le a_n$。

よって、数列 $\{a_n\}$ は単調減少。

(3) 数列 $\{a_n\}$ が下に有界であることを示す。

(2) より $a_n \ge \sqrt{2}$ であるから、$\sqrt{2}$ は下界である。したがって、数列 $\{a_n\}$ は下に有界。

(4) $\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}$ を示す。

数列 $\{a_n\}$ は下に有界な単調減少数列なので、極限値 $L$ が存在する。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n})$ において、$n \to \infty$ とすると、

$L = \frac{1}{2}(L + \frac{2}{L})$。

$2L = L + \frac{2}{L}$ より、$L = \frac{2}{L}$。

したがって、$L^2 = 2$。

$L > 0$ であるから、$L = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ は下に有界な単調減少数列であり、$\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{2}$。