次の関数を微分する問題です。 (1) $y = x^3 \log 3x$ (2) $y = (x^2 + 1) \log(x^2 + 1)$ (3) $y = (\log_2 x)^3$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = x^3 \log 3x$

(2) $y = (x^2 + 1) \log(x^2 + 1)$

(3) $y = (\log_2 x)^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 \log 3x$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = x^3$、$v = \log 3x$ とすると、

$u' = 3x^2$

$v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 3x^2 \log 3x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log 3x + x^2 = x^2(3 \log 3x + 1)$

(2) $y = (x^2 + 1) \log(x^2 + 1)$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = x^2 + 1$、$v = \log(x^2 + 1)$ とすると、

$u' = 2x$

$v' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x \log(x^2 + 1) + (x^2 + 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = 2x \log(x^2 + 1) + 2x = 2x(\log(x^2 + 1) + 1)$

(3) $y = (\log_2 x)^3$

合成関数の微分法を用います。$\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}$ なので、

$y = (\frac{\log x}{\log 2})^3 = \frac{1}{(\log 2)^3} (\log x)^3$

$y' = \frac{1}{(\log 2)^3} \cdot 3 (\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 (\log x)^2}{x (\log 2)^3} = \frac{3 (\log_2 x)^2}{\log 2} \cdot \frac{1}{x \log 2} = \frac{3 (\log_2 x)^2}{x \log 2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^2(3 \log 3x + 1)$

(2) $y' = 2x(\log(x^2 + 1) + 1)$

(3) $y' = \frac{3 (\log_2 x)^2}{x \log 2}$